persamaan garis singgung lingkaran serta contoh soal dan pembahasanya

Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan ulangan harian garis singgung lingkaran materi matematika kelas 11 SMA IPA.

Sebelum mempelajari persamaan garis singgung, baik dikuasai dulu Persamaan Lingkaran, sehingga tidak kesulitan waktu menentukan pusat-pusat lingkaran yang diberikan maupun jari-jarinya, boleh dibaca di artikel sebelumnya.

Soal No. 1
Diberikan persamaan lingkaran: 

L ≡ x² + y² = 25. 

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).

Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya. 

Lingkaran L ≡ x² + y² = r² 
Titik singgung (x₁, y₁)

Persamaan garis singgungnya adalah: 

 

Dengan x₁ = − 4 dan y₁ = 3, persamaan garisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0

Soal No. 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik (3, −2) adalah....
A. 2x − 3y = −13
B. 2x − 3y = 13
C. 3x − 2y = − 14
D. 3x − 2y = 13
E. 3x + 2y = 13
(Garis singgung lingkaran - uan 2002)

Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x² + y² 
= 3² + (−2)² = 9 + 4
= 13

Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung. Seperti nomor 1: 

 

Soal No. 3
Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 25. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.

Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan diketahui gradien garis singgungnya. 

 

Soal No. 4
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y − x + 3 = 0 adalah....
A. y = −¹/₂ x + ⁵/₂√5
B. y = ¹/₂ x − ⁵/₂√5
C. y = 2x − 5
D. y = −2x + 5√5
E. y = 2x + 5
(Garis singgung Lingkaran - un 2005)

Pembahasan
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradien sebesar ¹/₂. Garis lain yang tegak lurus dengan garis ini harus memiliki gradien − 2. Ingat pelajaran SMP 8, jika dua garis saling tegak lurus maka berlaku

m₁ ⋅ m₂ = − 1

Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x² + y² = 25 yang memiliki gradien −2 adalah: 

 

Jadi persamaan garis singgungnya bisa y = −2x + 5√5  bisa juga y = −2x − 5√5, pilih yang ada.

Soal No. 5
Diberikan persamaan lingkaran: 

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25 

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1). 

Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:

L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²

pada titik singgung (x₁, y₁) 

 

dengan
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25 

maka persamaan garisnya 

Soal No. 6
Diberikan persamaan lingkaran: 

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25 

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3. 

Pembahasan
Garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a, b) diketahui gradien m
 

Garis singgung yang diminta sejajar dengan garis y = 2x + 3 sehingga gradiennya sama yaitu 2.
 

Soal No. 7
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah...
A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 195 = 0
B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 195 = 0
C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 195 = 0
D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 195 = 0
E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 195 = 0

Pembahasan
Lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat: 
 

dan jari-jari 
 

Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.

Persamaannya:

 

Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah 
 

Soal No. 8
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0
B. 3x + 4y − 27 = 0
C. 3x + 4y − 27 = 0
D. 7x+ 4y − 17 = 0
E. 7x + 4y − 17 = 0
(UN 2005)

Pembahasan
Titik singgung : (x₁, y₁) 
pada lingkaran : L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0

Rumus garis singgungnya: 
 

Data:
x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)

A = −4
B = 2
C = − 20
x₁ = 5
y₁ = 3

Garis singgungnya: 
 

Soal No. 9
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah….
A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
(un 2011)

Pembahasan
Data soal:
L ≡ x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 
A = −6
B = 4
C = − 12

(7, 1)
x₁ = 7
y₁ = 1

Rumus sebelumnya, diperoleh garis singgung lingkaran: 

 

Soal No. 10
Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah...
A. x = 2 dan x = − 4
B. x = 2 dan x = − 2
C. x = − 2 dan x = 4
D. x = − 2 dan x = − 4
E. x = 8 dan x = − 10
(Garis singgung lingkaran - un 2009 dan un 2012)

Pembahasan
Data soal:
Polanya:
L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²
Pusatnya (a, b) 

L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
a = −1
b = 3

y = 3 memotong lingkaran ini, masukkan nilai y ke persamaan, ketemu nilai x, dengan demikian titik-titik singgungnya akan diketahui.

(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
(x + 1)² + 0 = 9
(x + 1)² = 9
(x + 1) = ±3

x + 1 = 3 x = 2

x + 1 = −3 x = −4

Titik singgungnya: ( −4, 3) dan (2, 3)



Untuk titik singgung (x₁, y₁) = ( −4, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3) 
 

Untuk titik singgung (x₁, y₁) = ( 2, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3) 

Latihan

Soal No. 1
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x² + y² + 12x −6y + 13 = 0 adalah...
A. −2x −y −5 = 0
B. x − y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x − 2y + 4
E. 2x − y + 3 = 0

Petunjuk
Kerjakan seperti contoh no. 8

Soal No. 2
Persamaan garis singgung lingkaran (x − 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis y − 2x + 5 = 0 adalah...
A. y = 2x − 11 ± 20
B. y = 2x − 8 ± 20
C. y = 2x − 6 ± 15
D. y = 2x − 8 ± 15
E. y = 2x − 6 ± 25

Petunjuk
Kerjakan seperti contoh no. 6

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/158-persamaan-garis-singgung-lingkaran-sma#ixzz3VAjB33GC

bagian-bagian mata beserta fungsinya~

Bagian-Bagian Mata

Mata terdiri dari beberapa bagian antaralain :

1). Kornea

Kornea merupakan bagian terluar mata dan bersifat tembus cahaya serta selalu dibasahi oleh air mata. Kornea berfungsi melewatkan cahaya kedalam mata dan bertindak sebagai lensa tetap. Pada bagian samping dan belakang bola mata terdapat sklera. Sklera merupakan lapisan terluar yang terdiri atas jaringan ikat berwarna putih dan kuat serta berfungsi sebagai pelindung mata.

2). Iris (Selaput Pelangi)

Iris merupakan bagian mata yang berwarna (hitam, merah, biru, hijau, abu-abu atau cokelat). Iris merupakan selaput yang memberi warna pada mata karena mengandung pigmen. Iris berfungsi mengatur banyak sedikitnya cahaya yang masuk ke mata. Oleh karena itu, iris dapat mengembang dan mengkerut.

3). Pupil

Pupil merupakan bagian tengah dari selaput iris yang berlubang, berbentuk bulat, dan berwarna gelap. Pupil dapat membesar dan mengecil. Pupil berfungsi sebagai tempat masuknya cahaya ke mata.

4). Lensa Mata

Lensa mata merupakan bagian mata yang bening dan terletak dibelakang iris. Lensa mata dapat berakomodasi untuk mengatur bayangan benda agar jatuh tepat pada bintik kuning.

5). Retina

Retina merupakan lapisan paling sensitif terhadap cahaya. Retina berisi saraf fotoreseptor yang terdiri atas sel-sel berikut.

a) Sel Batang yang berfungsi menerima rangsang cahaya dengan intensitas lemah dan tidak berwarna. Sel batang mengandung rodopsin (persenyawaan antara vitamin A dengan protein).

b) Sel Kerucut yang berfungsi menerima rangsang cahaya yang berwarna atau terang. Sel kerucut mengandung pigmen iodopsin yaitu iodopsin merah, biru dan hijau.

6). Bintik Kuning

Bintik kuning merupakan cekungan yang terdapat pada retina. Suatu benda akan terlihat jelas apabila bayangan benda tersebut jatuh tepat pada bintik kuning. Hal ini karena pada bintik kuning terdapat banyak reseptor.

7). Bintik Buta

Bintik buta merupakan tempat masuk dan membelok-beloknya berkas saraf menuju otak. Bintik buta tidak dapat menanggapi rangsang cahaya karena tidak memiliki sel-sel reseptor.

Bagian-Bagian Mata

Mekanisme Kerja Mata

Manusia dapat melihat suatu benda jika ada cahaya yang mengenai benda, kemudian benda tersebut dapat memantulkan cahaya ke arah mata. Pantulan cahaya tersebut akan menembus kornea dan diteruskan melalui pupil. Banyak sedikitnya cahaya yang masuk tergantung pada daya akomodasi pupil. Cahaya tersebut diteruskan menuju lensa mata. Selanjutnya, lensa mata akan mengatur kecembungannya sehingga cahaya bisa jatuh tepat pada bintik kuning. Rangsang cahaya diterima oleh sel-sel penglihat dan diteruskan oleh urat saraf sampai ke otak. Otak akan menerjemahkannya sehingga manusia dapat melihat. Mata manusia dikatakan normal apabila bayangan jatuh tepat pada bintik kuning. Keadaan ini disebut mata emetropi.

mekanisme terbentuknya bayangan benda pada mata

terbentuknya bayangan benda

:  Pembentukan bayangan pada mata : 
Proses pembentukan bayangan pada mata adalah cahaya yang masuk kemata kemudian dibiaskan oleh lensa mata, sehingga terbentuk bayangan pada retina. Bayangan yang terbentuk pada retinabersifat nyata, terbalik, dan diperkecil. 
Kesan bayangan ini kemudian diteruskan oleh syaraf mata menuju otak, kemudian otak mengubah kesan bayangan tersebut, sehingga kita melihat benda seperti aslinya. Mengenai daya akomodasi, keadaan mata tidak berakomodasi yaitu pada saat otot mata dalam keadaan istirahat. Hal ini terjadi bila mata melihat benda yang letaknya jauh tak terhingga dan bayangan tepat jatuh diretina. Suatau titik terjauh dari mata yang masih dapat terlihat dengan mata tidak berakomodasi disebut titik jauh atau Punctum remotum. Sedangkan titik paling dekat mata yang masih dapat dilihat jelas aleh mata yang berakomodasi maksimum disebut titik dekat atau pucutum proximum. 
Ketiaka kita masuk ketempat yang gelap struktur bintik tengah berwarna hitam, merupakan celah iris atau pupil berfungsi mengendalikan jumlah cahaya yang memasuki mata, dan inilah sebab kenapa kita tidak dapat melihat pada saat gelap , sebab pupil menyesuaikan dengan keadaan ditempat tersebut

Berkas sinar akan dibiaskan bila melewati satu medium ke medium lain dgn indeks bias yg berbeda,kecuali bila berkas tersebut jatuh tegak lurus terhadap permukaan. Berkas sinar sejajar yg mengenai lensa mata (lensa bikonveks) akan dibiaskan ke 1 titik (fokus utama) di belakang lensa. Fokus utama terletak di sebuah garis yg berjalan melewati titik pusat lengkung lensa,sumbu utama. Jarak antara lensa dan fokus utama disebut jarak fokus utama. Berkas sinar yg datang dari suatu benda berjarak 6 meter (20 feet) atau lebih dari lensa,dianggap sejajar. Berkas sinar dari benda yg terletak lebih dekat dari 6 meter akan mengalami divergensi sehingga difokuskan di sumbu utama lebih ke belakang daripada fokus utama. 

Semakin besar lengkung suatu lensa,semakin kuat daya biasnya. Daya bias lensa diukur dalam dioptri,yg merupakan kebalikan dari jarak utama dalam meter. Mata manusia memiliki daya bias sekitar 60 dioptri pd saat istirahat. 

MEKANISME 

Cahaya yg melalui pusat lensa tidak mengalami pembiasan,maka cahaya dari setiap titik sumber cahaya terlihat membentuk titik bayangan di sisi kanan lensa,tepat di garis yg melalui titik sumber cahaya dan pusat lensa. Setiap benda yg terletak di depan lensa merupakan kumpulan dari beberapa titik sumber cahaya. Titik2 itu mempunyai cahaya yg kuat atau lemah,dan warnanya berbeda2. Setiap titik sumber cahaya dari benda membentuk titik fokus yg berbeda pd sisi lain lensa yg segaris dgn pusat lensa. Bila secarik kertas putih diletakkan pd jarak fokus lensa ini,akan terlihat bayangan dari benda. Namun bayangan ini mempunyai gambaran atas-bawah yg terbalik dari benda aslinya,demikian pula sisi2 sampingnya. 

Cahaya yg datang pd mata berupa energi dalam spektrum yg kemudian diubah oleh mata menjadi potensial aksi di nervus optikus (saraf penglihatan). Panjang gelombang cahaya yg dapat dilihat berkisar 397-723 nano meter. Bayangan benda yg difokurkan di retina mencetuskan potensial aksi di dalam sel kerucut dan batang. Impuls yg timbul di retina dihantarkan ke korteks serebrum,utk dapat menimbulkan kesan penglihatan.

Analisis Unsur Intrinsik Film TANAH SURGA KATANYA~

1. Analisis Unsur Intrinsik Film TANAH SURGA ......KATANYA

Sinopsis :
            Kakek Hasyim, mantan sukarelawan Konfrontasi Indonesia Malaysia tahun 1965 hidup dengan kesendiriannya. Setelah istri tercintanya meninggal, ia memutuskan untuk tidak menikah dan tinggal bersama anak laki-laki satu-satunya yang juga menduda Haris dan dua orang anak Haris bernama Salman dan Salina. Hidup di perbatasan Indonesia Malaysia membuat persoalan tersendiri, karena masih didominasi oleh keterbelakangan dalam pembangunan dan pertumbuhan ekonomi. Masyarakat perbatasan harus berjuang setengah mati untuk mempertahankan hidup mereka, termasuk keluarga Hasyim, namun kesetiaan dan loyalitasnya pada bangsa dan Negara membuat Hasyim bertahan tinggal.

          Haris anak Hasyim, memilih hidup di Malaysia karena menurutnya Malaysia jauh lebih memberi harapan bagi masa depannya. Dia juga bermaksud mengajak seluruh keluarga pindah ke Malaysia termasuk bapaknya.

Astuti, seorang guru sekolah dasar di kota datang tanpa direncanakannya. Ia mengajar di sekolah yang hampir rubuh karena setahun tidak berfungsi. Tak lama berselang dr. Anwar, seorang dokter muda datang ke daerah itu, karena tidak mampu bersaing sebagai dokter professional di kota. Salman dan Salina gembira hatinya karna kedatangan guru Astuti dan dr. Anwar, yang oleh penduduk dikenal dengan sebutan dokter intel.

A.      UNSUR INTRINSIK

a.      Tema

Film tersebut mengangkat tema nasionalisme. Karena menggugah rasa cinta kebangsaan bagi para penonton. Para penonton diajak melihat realita kehidupan di daerah pebatasan, yang kehidupannya kurang diperhatikan.

b.      Penokohan

1)      Osa Aji Santoso sebagai Salman : Patuh, rajin, mempunyai rasa nasionalisme yang   tinggi, semangat belajarnya tinggi.

2)      Tissa Biani Azahra sebagai Salina : Polos, patuh, baik hati.

3)      Ence Bagus sebagai Hilman : Keras Kepala, tidak mempunyai rasa nasionalisme , peduli pada keluarga.

4)      Fuad Idris sebagai Hasyim : Nasionalisme-nya tinggi, pejuang, sabar, berprinsip.

5)      Astri Nurdin sebagai Astuti : Sabar, sederhana.

6)      Ringgo Agus sebagai Anwar : Sabar, konyol, berdedikasi tinggi.

c.             Alur  : Maju

d.             Latar

Film tersebut berlatarkan di sebuah desa yang berada di daerah perbatasan nusantara. Juga berlatarkan pasar di negara Malaysia.

e.      Amanat                 

-                  Kita harus tetap menjaga harga diri bangsa. Jangan biarkan negara lain menghina negara kita.

-                  Kita harus mempunyai Jiwa Nasional yang Tinggi, Patriotisme yang Tinggi, serta harus cinta terhadap tanah air. bagaimana cara kita menyikapi tentang betapa kurangnya negeri ini jika dibandingkan dengan bangsa lain.

B.      UNSUR EKSTRINSIK

        Maksud pengarang mengangkat tema terssebut adalah karena pemerintah kurang memperhatikan  masyarakat yang ada di perbatasan Indonesia. Pendidikan di daerah perbatasan sangat minim. Bahkan mungkin mereka tidak mengenal lagu kebangsaan juga bendera kebangsaannya. Akses menuju daerah tersebut sangatlah memprihatinkan. Pengarang mengajak kita untuk sadar bahwa keadaan di perbatasan sangat  memprihatinkan. Banyak orang Indonesia yang pindah ke Negara tetangga karena di negara tetanggak keadannya lebih makmur. Sementara di Indonesia keadaannya berbanding terbalik. Kita diajarkan untuk lebih menghormati lambang lambang negara.